DNB – Mathématiques – Correction Le sujet de ce DNB est disponible ici. Ex 1 Exercice 1 Les nombres écrits sur le deuxième dé sont $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ et $11$. Les nombres écrits sur le troisième dé sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ et $13$. $\quad$ a. Le seul nombre dont le carré est égal à $25$ est $5$. Elle a donc lu le nombre $5$. $\quad$ b. Seuls les nombres $6$, $8$, $10$ et $12$ ont des carrés supérieurs à $25$. La probabilité que Léo obtienne un carré supérieur à celui obtenu par Zoé est $\dfrac{4}{6}$ soit $\dfrac{2}{3}$. $\quad$ a. $525=5\times 5\times 3\times 7$. C’est la seule décomposition possible aux permutations de nombres près de $525$. Lors des quatre lancers, Mohamed a donc obtenu les nombres $3$, $5$ deux fois et $7$. $\quad$ b. Ces trois nombres apparaissent à la fois sur le deuxième et le troisième dé. Il n’est donc pas possible de déterminer quel dé à été choisi. $\quad$ Ex 2 Ex 3 Exercice 3 a. On appelle $N$ le nombre de décès sur l’ensemble des routes en France. Ainsi $0,55\times N=1~911$. Par conséquent $N=\dfrac{1~911}{0,55}\approx 3~475$. En 2016, il y a eu environ $3~475$ décès sur l’ensemble des routes en France. $\quad$ b. $\dfrac{400}{3~475}\approx 0,115$. Le nombre de morts sur l’ensemble des routes de France aurait donc baissé d’environ $11,5\%$. $\quad$ a. $\dfrac{82\times 1+86\times 7+90\times 4+91\times 3+97\times 6}{1+7+4+3+6}=\dfrac{1~899}{21}\approx 90,4$. La vitesse moyenne de ces automobilistes est d’environ $90,4$ km/h. $\quad$ b. L’étendue est égale à $27$ km/h. La valeur contenue dans la cellule $B1$ est donc $97-27=70$. La médiane est égale à $82$ km/h, valeur présente qu’une seule fois dans cette série statistique. Il y a donc autant de valeurs qui lui sont supérieures que de valeurs qui lui sont inférieures. $20$ vitesses sont supérieures à $82$ km/h. or $2+10+6=18$. Par conséquent, la valeur de la cellule $B2$ est égale à $20-18$ soit $2$. $\quad$ c. On peut saisir la formule $=\text{SOMME}B2J2$. $\quad$ Ex 4 Exercice 4 Dans le triangle $ABH$ rectangle en $B$ on a $\tan \widehat{HAB}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{324}{600}=0,54$ Par conséquent $\widehat{HAB}\approx 28$°. $\quad$ On appelle $T$ le point de la figure correspondant au sommet de la tête de Leila. On veut donc que l’angle $\widehat{TAL}$ soit égal à $\widehat{HAB}$. Dans le triangle $ALT$ rectangle en $L$ on a $\tan \widehat{TAL}=\dfrac{TL}{AL}=\dfrac{1,70}{AL}$. On veut donc que $\dfrac{1,70}{AL}=0,54$ soit $AL=\dfrac{1,70}{0,54}$. Or $\dfrac{1,70}{0,54}\approx 3,148$. Leila doit donc se situer à moins de $3,15$ m de l’objectif. $\quad$ Ex 5 Exercice 5 a. Avec le programme A, en choisissant le nombre $5$, on obtient $4\times 5+5-2^2=20+3^2=29$. $\quad$ b. Avec le programme A, en choisissant le nombre $5$, on obtient $5^2+6=25+6=31$. $\quad$ Avec le programme A, on obtient $\begin{align*} 4x+x-2^2&=4x+x-2\times x-2 \\ &=4x+x^2-2x-2x+4\\ &=x^2+4\end{align*}$ Remarque Si tu connais les identités remarquables, tu peux écrire directement que $x-2^2=x^2-2\times 2\times x+2^2=x^2-4x+4$. $\quad$ Avec le programme B, on obtient $x^2+6$. $\quad$ a. Si on choisit le nombre $\dfrac{2}{3}$ dans le programme B on obtient alors $\left\dfrac{2}{3}\right^2+6=\dfrac{4}{9}+\dfrac{54}{9}=\dfrac{58}{9}$. L’affirmation A est vraie. $\quad$ b. Si on choisit le nombre $0$ dans le programme B on obtient alors $0^2+6=6$ qui est pair. L’affirmation B est donc fausse. Remarque On peut choisir, en fait, n’importe quel nombre pair. $\quad$ c. $6$ et $x^2$ sont des nombres positifs. Leur somme est donc également positive. L’affirmation C est vraie. $\quad$ d. On a $x^2+6=x^2+4+2$. Ainsi le résultat du programme B est égal au résultat du programme A augmenté de $2$. Un nombre pair augmenté de $2$ est pair et un nombre impair augmenté de $2$ est également impair. Les nombres obtenus avec les programme A et B ont donc la même parité. L’affirmation D est vraie. $\quad$ Ex 6 Exercice 6 a. La représentation graphique associée au verre A est une droite passant par l’origine du repère. Il y a donc proportionnalité entre le volume et la hauteur de jus de fruits avec le verre A. $\quad$ b. Si la hauteur est de $5$ cm alors le volume est de $140$ cm$^3$. $\quad$ c. Si on verse $50$ cm$^3$ dans le verre B alors la hauteur de jus de fruit est de $5,6$ cm. $\quad$ Volume du verre A $\begin{align*} V_A&=\pi\times 3^2\times 10 \\ &=90\pi \\ &\approx 283 \text{ cm}^3\end{align*}$ $\quad$ Volume du verre B $\begin{align*} V_B&=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 5,2^2 \times 10\\ &=\dfrac{1~352\pi}{3}\\ &\approx 283 \text{ cm}^3\end{align*}$ $\quad$ Les deux verres ont donc le même volume total à $1$ cm$^3$ près. $\quad$ Le volume de jus de fruit contenu dans le verre A correspond à celui d’un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $h$. Le volume est donc égal à $V=\pi\times 3^2\times h=9\pi\times h$. Par conséquent $9\pi\times h=200$ soit $h=\dfrac{200}{9\pi} \approx 7$. Il y a donc environ $7$ cm de jus de fruits dans le verre A. Remarque On vérifie que c’est cohérent avec ce qu’on peut lire sur le graphique. $\quad$ a. Graphiquement, avec le verre A, il obtient un volume supérieur à celui obtenu avec le verre B. Il doit donc choisir le verre B pour servir le plus grand nombre possible de verres avec $1$ L de jus de fruits. $\quad$ b. Volume de jus de fruits dans le verre A $\pi \times 3^2\times 8=72\pi$ cm$^3$. Or $1$ L $=1~000$ cm$^3$. Et $\dfrac{1~000}{72\pi}\approx 4,42$. Il pourra donc servir au maximum $4$ verres. $\quad$ Énoncé Exercice 1 13 points Damien a fabriqué trois dés à six faces parfaitement équilibrés mais un peu particuliers. Sur les faces du premier dé sont écrits les six plus petits nombres pairs strictement positifs $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $10$ ; $12$. Sur les faces du deuxième dé sont écrits les six plus petits nombres impairs positifs. Sur les faces du troisième dé sont écrits les six plus petits nombres premiers. Après avoir lancé un dé, on note le nombre obtenu sur la face du dessus. Quels sont les six nombres figurant sur le deuxième dé ? Quels sont les six nombres figurant sur le troisième dé ? $\quad$ Zoé choisit le troisième dé et le lance. Elle met au carré le nombre obtenu. Léo choisit le premier dé et le lance. Il met au carré le nombre obtenu. a. Zoé a obtenu un carré égal à 25. Quel était le nombre lu sur le dé qu’elle a lancé ? $\quad$ b. Quelle est la probabilité que Léo obtienne un carré supérieur à celui obtenu par Zoé ? $\quad$ Mohamed choisit un des trois dés et le lance quatre fois de suite. Il multiplie les quatre nombres obtenus et obtient $525$. a. Peut-on déterminer les nombres obtenus lors des quatre lancers ? Justifier. $\quad$ b. Peut-on déterminer quel est le dé choisi par Mohamed ? Justifier. $\quad$ $\quad$ Exercice 2 18 points S’orienter à $90$ » signifie que l’on se tourne vers la droite. Mathieu, Pierre et Elise souhaitent tracer le motif ci-dessous à l’aide de leur ordinateur. Ils commencent tous par le script commun ci-dessous, mais écrivent un script Motif différent. Tracer le motif de Mathieu en prenant comme échelle $1$ cm pour $10$ pixels. $\quad$ Quel élève a un script permettant d’obtenir le motif souhaité ? On ne demande pas de justifier. $\quad$ a. On utilise ce motif pour obtenir la figure ci-dessous. Quelle transformation du plan permet de passer à la fois du motif $1$ au motif $2$, du motif $2$ au motif $3$ et du motif $3$ au motif $4$ ? $\quad$ b. Modifier le script commun à partir de la ligne $7$ incluse pour obtenir la figure voulue. On écrira sur la copie uniquement la partie modifiée. Vous pourrez utiliser certaines ou toutes les instructions suivantes $\quad$ Un élève trace les deux figures A et B que vous trouverez en ANNEXE. Placer sur cette annexe, qui est à rendre avec la copie, le centre $O$ de la symétrie centrale qui transforme la figure A en figure B. $\quad$ Annexe $\quad$ Exercice 3 17 points Le premier juillet 2018, la vitesse maximale autorisée sur les routes à double sens de circulation, sans séparateur central, a été abaissée de $90$ km/h à $80$ km/h. En 2016, $1~911$ personnes ont été tuées sur les routes à double sens de circulation, sans séparateur central, ce qui représente environ $55 \%$ des décès sur l’ensemble des routes en France. Source a. Montrer qu’en 2016, il y a eu environ $3~475$ décès sur l’ensemble des routes en France. $\quad$ b. Des experts ont estimé que la baisse de la vitesse à $80$ km/h aurait permis de sauver $400$ vies en 2016. De quel pourcentage le nombre de morts sur l’ensemble des routes de France aurait-il baissé ? Donner une valeur approchée à $0,1\%$ près. $\quad$ En septembre 2018, des gendarmes ont effectué une série de contrôles sur une route dont la vitesse maximale autorisée est $80$ km/h. Les résultats ont été entrés dans un tableur dans l’ordre croissant des vitesses. Malheureusement, les données de la colonne B ont été effacées. a. Calculer la moyenne des vitesses des automobilistes contrôlés qui ont dépassé la vitesse maximale autorisée. Donner une valeur approchée à $0,1$ km/h près. $\quad$ b. Sachant que l’étendue des vitesses relevées est égale à $27$ km/h et que la médiane est égale à $82$ km/h, quelles sont les données manquantes dans la colonne B ? $\quad$ c. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule $K2$ pour obtenir le nombre total d’automobilistes contrôlés ? $\quad$ $\quad$ Exercice 4 10 points Leila est en visite à Paris. Aujourd’hui, elle est au Champ de Mars où l’on peut voir la tour Eiffel dont la hauteur totale $BH$ est $324$ m. Elle pose son appareil photo au sol à une distance $AB = 600$ m du monument et le programme pour prendre une photo voir le dessin ci-dessous. Quelle est la mesure, au degré près, de l’angle $\widehat{HAB}? $\quad$ Sachant que Leila mesure $1,70$ m, à quelle distance $AL$ de son appareil doit-elle se placer pour paraître aussi grande que la tour Eiffel sur sa photo ? Donner une valeur approchée du résultat au centimètre près. $\quad$ $\quad$ Exercice 5 22 points Voici deux programmes de calcul a. Montrer que, si l’on choisit le nombre $5$, le résultat du programme A est $29$. $\quad$ b. Quel est le résultat du programme B si on choisit le nombre $5$ ? $\quad$ Si on nomme 𝑥 le nombre choisi, expliquer pourquoi le résultat du programme A peut s’écrire $x^2+4$. $\quad$ Quel est le résultat du programme B si l’on nomme 𝑥 le nombre choisi ? $\quad$ Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses et écrire les étapes des éventuels calculs a. Si l’on choisit le nombre $\dfrac{2}{3}$, le résultat du programme B est $\dfrac{58}{9}$. » $\quad$ b. Si l’on choisit un nombre entier, le résultat du programme B est un nombre entier impair. » $\quad$ c. Le résultat du programme B est toujours un nombre positif. » $\quad$ d. Pour un même nombre entier choisi, les résultats des programmes A et B sont ou bien tous les deux des entiers pairs, ou bien tous les deux des entiers impairs. » $\quad$ $\quad$ Exercice 6 20 points Pour servir ses jus de fruits, un restaurateur a le choix entre deux types de verres un verre cylindrique A de hauteur $10$ cm et de rayon $3$ cm et un verre conique B de hauteur $10$ cm et de rayon $5,2$ cm. Le graphique situé en ANNEXE représente le volume de jus de fruits dans chacun des verres en fonction de la hauteur de jus de fruits qu’ils contiennent. Répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique en ANNEXE a. Pour quel verre le volume et la hauteur de jus de fruits sont-ils proportionnels ? Justifier. $\quad$ b. Pour le verre A, quel est le volume de jus de fruits si la hauteur est de $5$ cm ? $\quad$ c. Quelle est la hauteur de jus de fruits si on en verse $50$ cm$^3$ dans le verre B ? $\quad$ Montrer, par le calcul, que les deux verres ont le même volume total à $1$ cm$^3$ près. $\quad$ Calculer la hauteur du jus de fruits servi dans le verre A pour que le volume de jus soit égal à $200$ cm$^3$. Donner une valeur approchée au centimètre près. $\quad$ Un restaurateur sert ses verres de telle sorte que la hauteur du jus de fruits dans le verre soit égale à $8$ cm. a. Par lecture graphique, déterminer quel type de verre le restaurateur doit choisir pour servir le plus grand nombre possible de verres avec $1$ L de jus de fruits. $\quad$ b. Par le calcul, déterminer le nombre maximum de verres A qu’il pourra servir avec $1$ L de jus de fruits. $\quad$ Annexe $\quad$
Lavitesse maximale autorisée sur les routes secondaires à double sens sans séparateur central (terre-plein, barrière) sera abaissée de 90 à 80 km/h à compter du 1er juillet, a annonce le Premier ministre Edouard Philippe. Durée 00:37
Modifié le vendredi 27 septembre 2019 Étant donné l’inexpérience des jeunes qui effectuent la conduite accompagnée, les limitations de vitesses auxquelles ils doivent se plier sont plus basses que les limitations normales fixées par la législation du code de la route. Ces limitations ne sont pas indiquées sur les panneaux, il est donc nécessaire que les apprentis conducteurs les connaissent. Les limitations de vitesses pour les jeunes conducteurs Les vitesses autorisées sur la route pour les apprentis conducteurs sont différentes selon les voies de circulation Voie de circulation Par temps sec Par temps de pluie Permis définitif Jeune conducteur Autoroute 130 km/h 110 km/h 110 km/h Route à 2 chaussées séparées par 1 terre-plein central 110 km/h 100 km/h 100 km/h Route à double sens , avec séparateur central 90 km/h 80 km/h 80 km/h Route à double sens, sans séparateur central 80 km/h 80 km/h 80 km/h Agglomération 50 km/h 50 km/h 50 km/h Lors de la conduite accompagnée les vitesses autorisées sont les mêmes que pour les jeunes conducteurs titulaires du permis probatoire Sur l’autoroute la vitesse maximum est de 110 km/h au lieu de 130 km/h et reste la même par temps de pluie. Sur les routes à chaussées séparées les jeunes conducteurs se doivent de ne pas dépasser 100km/h. Sur les autres routes la limite est de 80 km/h au lieu de 90 km/h, même pour les routes à double sens séparateur central limité à 80 km/h. En ville, les limites sont les mêmes la vitesse maximale autorisée est de 50 km/h. Sur l’autoroute la limitation est de 50 km/h par temps de brouillard comme pour les autres conducteurs. Malheureusement, certains accompagnateurs ne sont pas assez vigilants et leur jeune conducteur ne les respectent ces limitations de vitesse. En plus d’être répréhensible, les apprentis conducteurs vont prendre de mauvaises habitudes car ces mêmes limitations leurs seront également fixées durant leur période de permis probatoire. Nouvelle réglementation au 1er juillet 2018 routes à 80 km/h Depuis le 1er juillet 2018, la législation a abaissé la vitesse maximale sur les routes départementales sans séparateur central de 90 km/h à 80 km/h. Mais qu’en est-il pour les jeunes conducteurs en conduite accompagnée ? Doivent-il diminuer la vitesse de 10 km/h ? Les jeunes conducteurs pourront également conduire à 80 km/h sur ces routes comme pour les autres conducteurs. Sur les autres routes, les limitations restent les mêmes. Amendes en cas d’excès de vitesse Les conséquences suite à un excès de vitesse sont les mêmes que pour les permis définitifs, que ce soit une contravention ou un délit mais sont appliquées à l’accompagnateur puisque les apprentis ne possèdent pas encore leur permis avec le système de point. Dépassement de vitesse Perte de points Montant de l’amende Inférieur à 20 km/h hors agglomération 1 Point Amende forfaitaire 68€ Amende minimum 45€ Inférieur à 20 km/h en ville ou limité à 50km/h 1 Point Amende forfaitaire 135€ Amende minimum 90€ Inférieur à 30 km/h 2 Points Amende forfaitaire 135€ Amende minimum 90€ Inférieur à 40 km/h 3 Points Amende forfaitaire 135€ Amende minimum 90€ Inférieur à 50 km/h 4 Points Amende forfaitaire 135€ Amende minimum 90€ Supérieur à 50 km/h 6 Points Amende maximale 1500€ Les alternatives à la voiture Vous avez pu le constater, il y a des limitations que vous ne devez pas négliger. Le conducteur est donc contraint de les respecter, car il peut risquer une forte amende et même un retrait de permis à cause des points qui s’envolent comme par magie. Il existe tout de même des solutions pour vous déplacer sans avoir ces inconvénients, la pollution, les embouteillages… Il suffit de se rendre sur le site pour obtenir une liste relativement sympathique et certains engins sont très réjouissants. Il est sans doute inutile de présenter la trottinette électrique puisqu’elle rencontre un succès sans précédent pour tous les profils. Vous avez également une monoroue qui demande par contre une bonne dose d’entraînement. Le gyropode se trouve à mi-chemin entre ces deux références et vous avez besoin de travailler en amont votre équilibre. SI vous êtes à la recherche d’un produit susceptible de vous combler alors que vous avez l’intention d’abandonner votre voiture, le vélo électrique peut être très efficace. Ce dernier fait l’objet d’une aide de l’État, cela vous permet de réduire alors la dépense et d’avoir un produit de qualité qui pourra vous accompagner sur des distances plus ou moins longues. Articles similaires Infraction en conduite accompagnée Les papiers à avoir sur soi Taux d’alcoolémie Conduire à l’étranger Infraction et législation non respect d’un feu rouge
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route à double sens sans séparateur central
